凯利公式：那个「最优下注比例」，到底是拿什么算出来的

写在前面

一个朋友给我看他的记录：最近四十笔，赢了二十四笔，胜率六成；平均赚的是平均亏的一点五倍。他说他查了凯利公式，代进去算出来该押三成三。

他的算术没有错。我用同一个公式代了一遍，也是三成三。

有问题的不是那一步。有问题的是代进去的那两个数——"六成"和"一点五倍"，都是从他那四十笔里数出来的。

而上一次讲幸存者偏差时，我用十万个不做任何判断的人跑过一遍：四十笔这个长度上，成绩没有分辨力。 一个纯靠运气的人和一个真有本事的人，在四十笔上分不开。

那么，一个建立在"胜率"和"盈亏比"上的公式，拿四十笔喂给它，会算出什么？

这是《米粒论道》的第五篇。前面四篇分别算了回本的距离、怎么停下来、一共该拿多少、一个成绩能说明什么。

讲仓位那一篇的第一节，我刻意留了一个坑没填：我只说"一定存在某个位置，越过它之后再加仓位，是同时降低期望收益和提高风险的"，但没说它在哪儿，也没给公式。

这一篇就是来填那个坑的。填完你会发现，坑底下不是一个答案，是另一个问题。

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一、它最大化的不是收益，是增长率

先说这个公式是从哪儿冒出来的。

1956 年，贝尔实验室一个研究信息传输的人写了一篇论文，讨论的其实是信道容量——一个带噪声的通道，每次传过去的信息里有多少是可信的。他顺手用赌局做了个类比：一个赌徒收到一些有噪声的内幕消息，他每次该押上身家的多大比例，才能让财富长期增长得最快。

这个人叫 John Kelly，这个比例后来就叫凯利公式。

⚠️ 请注意"长期增长得最快"这七个字，它是整个公式的地基。

为什么最大化收益是错的目标

假设有一个赌局：赢了翻倍，输了归零，你有六成把握赢。

要让"这一把的期望收益"最大，答案是全押。 期望值 0.6 × 2 = 1.2 倍本金，押得越多期望越高，没有别的答案。

但你不会只赌一把。 连着赌下去，只要输过一次，账户就是零，后面赢多少次都乘不回来。

这就是问题的形状：账户是连乘的，不是连加的。 回撤那一篇已经把这件事的后果算过一遍——亏损和回本用的不是同一个分母，一涨一跌等幅之后你不在原地。

一串连乘的东西，长期表现由每一步的对数之和决定，不由每一步的算术平均决定。凯利做的事就是：不去最大化"这一把能赚多少"，而是最大化"每一把的对数收益的平均值"。这个量有个名字，叫几何增长率。

凯利回答的问题从来不是"怎么赚得最多"，是"怎么让账户长期增长得最快"。这两个问题的答案，差得非常远。

公式本身

在"赢了赚 b 倍、输了亏掉押上去那一份"的赌局里，设赢的概率是 p、输的概率是 q（q = 1 − p），凯利给的答案只有一行：

f* = p − q / b

代几个数进去看看：

⛔ 最后两行是这个公式最容易被跳过、也最要命的一半。

凯利不创造优势，它只分配优势。 你没有正期望，它给出的答案是零或者负数。讲仓位那一篇的第七节里那句话在这儿同样成立：再好的仓位管理也买不来正期望。

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二、f 不是仓位比例——这一步几乎所有人都算错

现在假设你已经有了一个 f，比如 20%。它到底是什么的 20%？

绝大多数人的默认答案是"仓位的 20%"或者"保证金占用 20%"。两个都不对。

回到公式的原始设定："输了亏掉押上去那一份"。凯利的 f 是你押上去、输了会全没的那部分本金。

而期货的一笔交易，不会亏光。你有一个止损，价格走到那儿你就出来了。所以：

f 不是你的仓位有多大，f 是"这一笔如果亏，账户会少百分之几"。

这两句话之间隔着一次换算，而那个除数是你的单笔止损幅度：

名义敞口 = 账户权益 × f ÷ 单笔止损幅度

举个数：账户十万，f 算出来 20%，你的止损设在离入场 4% 的地方。

• 你允许这一笔亏掉的钱 = 10 万 × 20% = 2 万
• 亏 2 万需要多大的敞口？2 万 ÷ 4% = 50 万
• 也就是五倍于账户权益的名义敞口

（同一个 f，止损放宽一倍，手数就得砍一半——这正是止损那一篇第一节说的"结构远就降手数，不是放宽止损"，两边说的是同一件事。名义敞口和账户权益的比值，就是保证金那一篇第四节的真实杠杆。）

换算完你会撞见一个熟人

把 f 读成"这一笔我允许亏掉账户的百分之几"之后，有件事会立刻跳出来：

这个坐标系里，早就已经有一个数了。

讲仓位那一篇引过的 Elder 那两条规则，第一条就是"任何一笔交易的风险不超过账户的 2%"。

那个 2%，和凯利的 f，是同一个坐标系里的两个数。 区别只在于一个是定死的，一个是算出来的。

于是问题变得非常具体：

一个是四十年前凭经验定死的 2%，一个是你今天用四十笔战绩算出来的 33%。差了十六倍。

该信哪一个？

这一篇剩下的部分，全部在回答这句话。

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三、曲线两侧不对称，而你不知道自己站在哪一侧

先说这条曲线长什么样。

把"每一笔押 f"和"长期每笔的对数增长率 g"画在一起，它是一条倒扣的弧：从 0 出发往上爬，在 f* 那儿到顶，然后掉下来，掉到某个位置之后变成负的——再往右，你是在稳定地、可预期地把账户做小。

Ralph Vince 把顶点那个位置叫 optimal f，讲仓位那一篇的第四节已经引过他最要命的那句提醒（那个 f 是拿历史算出来的，未来那个不是这一个），这里不重复。

我想补的是两侧到底差多少，这一段是我自己算的：

① 押到一半，增长率只掉四分之一。

把 f 砍成 f*/2，增长率不是掉一半，是掉到原来的 75%。我在优势从极小到很大的一整片参数上算了一遍，这个比值稳定落在 0.747 到 0.774 之间；优势趋近于零时，它精确地趋向 3/4。

而下注规模只有一半，账户的波动也就只有一半。

半凯利：拿走四分之三的增长，只承担一半的颠簸。 这就是场内人人都说"凯利算出来的要打个折"的算术出处。

② "押到两倍凯利，增长率归零"——这句话我原本打算直接写进来，核完之后没敢。

这是一句流传很广的话，我落笔前按规矩回头验了一遍，结论是：它只在赔率接近 1:1 的时候近似成立，赔率一高就不成立了。

• 赔率 1:1、胜率 55%：g(2f*) = −0.000138，确实约等于零，略微为负
• 赔率 1.5:1 起，g(2f*) 是正的（比如胜率 46%、赔率 1.5，g(2f*) = +0.00019）

真正恒等于零的是连续近似式（把增长率写成 μf − σ²f²/2 那个抛物线）在 2f* 处的值。那是近似式的性质，不是凯利公式的性质。

⚠️ 我把这段留在正文里，是因为赔率 1:1 上下恰好是绝大多数人实际所在的区间，那句话在那儿够用；但它不是一条定律，别当定律用。

③ 真正该记住的是不对称的方向。

比最优值小一点，你少赚；大一点，你不是"多赚一点风险"，是同时少赚且多险。左边的代价是线性的，右边的代价是复利的。

这正是讲仓位那一篇第一节那句"不知道它在哪儿的时候，往小的那一侧站"的算术出处。

④ 而误差本身，会被这个公式乘大。

这一条是本篇最硬的一块，而且它是纯代数，不需要任何数据：

f* = p − q/b 对 p 求导，等于 1 + 1/b。

翻译成人话：你的胜率估偏一个百分点，算出来的 f 就偏 1 + 1/b 个百分点。

赔率越低，这个公式对胜率估计误差越敏感。

⚠️ 而这里有一个绕不开的算术：在期望值固定的前提下，胜率越高、赔率就必然越低。 也就是说，「胜率高、每次赚得不多」这种做法，天生就落在这个公式最敏感的那一档上。

看一张更具体的：真值是胜率 50%、赔率 1.5，正确答案 f* = 16.7%——

胜率的十个百分点，在输出端变成两倍。 而胜率十个百分点，在四十笔里就是四笔的差别。

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四、模拟：让十万个人用自己四十笔的战绩，去估凯利要的那两个数

⚠️ 先说清楚这一节的性质：它是模拟，不是实测

这个号前面做过二十次实测，量的都是市场上真实发生过的事；另有一次是模拟，就是讲幸存者偏差那一篇。这一次和那一次一样，是模拟。

我手里没有任何真实交易者的账户数据，所以这一节没有回答"市场上的人是不是把仓位算大了"，那个问题我答不了，也不该答。

这一节回答的是另一个问题：

把真实的价格摆在那儿，让一批人用自己那几十笔的战绩去估凯利要的两个输入，算出来的那个 f，离真正的最优值有多远。

它证明不了任何一个人的仓位是错的。 它能给出的是另一样东西：这个公式的输出，对输入的误差有多敏感。 而这一条与人无关，是估计量自身的性质。

怎么做的

数据整套复用讲仓位那一篇用过的那批：30 个品种、1102 份代表合约、51462 个品种日，2019 年 1 月到 2026 年 8 月。价格是真的，一天都没编。

在这上面造十万个人，每人随机挑品种、随机决定方向、随机持有 1 到 10 个交易日，每笔往返扣一笔小成本。然后：

• 前 40 笔只用来估参数：数出自己的胜率 p̂、平均盈利除以平均亏损得到 b̂，代进 f* = p̂ − q̂/b̂
• 后 60 笔只用来评效果：拿刚才那个 f̂ 真下注，看六十笔之后账户在哪儿

⛔ 两批交易互不重叠——同一批交易既估参数又评效果，那是前视偏差。

⚠️ 参数（杠杆上限、成本、笔数、出局线、真实优势有多大）全部是我设的，所以每一个都扫过一遍，下面只报换完参数还站得住的。

结果一：一个完全没有优势的人，会给自己算出多少

先让这批人没有任何优势——随机进、随机出。这种情况下正确答案很干脆：f* = 0，不该下注。

四十笔之后，他们自己算出来的 f̂：

⚠️ 这里我开跑前猜错了。 我猜中位数会明显为正、落在 10%–20%，结果是 −1.3%，而且只有 47.9% 的人算出正数。

真正的结论不是"大家会系统性地把仓位算大"，是这个：

真值是零，而十个人里有三个算出该押一成以上，一个算出该押两成半以上。

同一个公式、同一批价格、同样是四十笔，给出的答案从 −80% 到 +42% 都有。

这个公式在这儿没有犯错。它只是老老实实地把一个噪声，翻译成了一个看起来很专业的百分数。

结果二：那给一批真有本事的人呢

现在换一组：给他们每笔加一个真实的优势（沿用上一篇的设定，每笔名义收益上加 30 个基点，往返成本才 6 个基点）。

这批交易的正确答案，我不用公式算，直接在他们的真实盈亏分布上数值求解：f* = 4.34%。

四十笔之后，他们自己算出来的：

⚠️ 按规矩，报"下重的人比下轻的多"之前，两端得一样远。所以两边都取"和真值差一倍"：

• 下重了（超过两倍真值）：52.7%
• 下轻了（不到一半真值）：36.3%（其中三成三是算出负数、干脆不下）

一半以上的人，会给自己算出一个超过正确答案两倍的仓位。而这些人是真有本事的。

结果三：拿这个数真下注，会怎样

接下来的六十笔，五条路各走一遍。⚠️ 下面只看真的下了注的那 67.2% 人（算出负数的那批不下注，权益恒等于 1，混在一起会把中位数拉平）：

三件事值得停一下：

① 要缩到四分之一凯利，中位数才第一次转正。 不是半凯利，是四分之一。

② 上帝视角那一行是干净的正数——公式没问题，问题从来在输入。

③ 最该看的是最后一行。 一个完全不需要估胜率、也不需要估赔率的固定 1% 风险，拿到了上帝视角大约一半的增长，只用了它不到三成的回撤，而且六十笔里一个人都没出局。

它不是"更好的凯利"。它是在你估不准的时候，那条不去估的路。

⚠️ 而它那个 1%，正是第二节里撞见的那个熟人：Elder 定死的 2%，和它是同一个坐标系里的数。这批模拟里，半凯利落在 1.0% 到 3.5% 之间（取决于假设的优势有多大），而四十年前凭经验定死的那个数是 2%。

⛔ 这不是"经典被验证了"。参数是我设的，换一组它就挪了。它只说明一件事：那个凭经验定下的量级，和算出来的量级，本来就在同一个数量级上——不同的是，一个不需要你先知道自己的胜率。

结果四：哪些数会动，哪些不会

⚠️ 这一节里最不稳的是出局率的绝对值——它强烈依赖我设的那个敞口上限（上限三倍时全凯利出局不到一成，上限十倍时过半）。所以正文一个出局率的绝对值都没写，只写排序：四档上限下，半凯利的出局率全部低于全凯利。

而下面这两条，怎么换都不动：

① 把估计用的交易从 20 笔加到 120 笔——

多做八十笔，你的估计确实稳了一半多。可"算出来的数比正确答案大一倍以上"的人，一个百分点都没少。

② 有没有真本事，几乎不改变照自己估的数下注会不会出局。 把每笔的真实优势从 0 一路加到 60 个基点，全凯利那一档的出局率从 55.7% 走到 55.0%——基本没动。变的是半凯利那一档：期末中位从 0.67 抬到 1.07。

真本事改变的是"打完折之后还剩不剩得下"，不是"不打折会不会死"。

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五、期货把这道题加难在哪

上面那些对任何一个连续下注的场合都成立。到了期货上，还要再加四条。

① 一笔交易的结果不是两种，是一片。

凯利的原始设定是"赢了赚 b、输了亏 1"，两个结果。真实的一笔可能小赚、可能大赚、可能在止损前后滑出去一点、也可能开盘直接跳过你的止损价。

把一片分布压成"平均盈利 ÷ 平均亏损"这一个数，本身就丢掉了尾巴——而尾巴恰恰是决定你会不会出局的那部分。

② 破产线来得比公式假设的早得多。

凯利的数学里，你押 f 输了就是少 f，账户永远为正，永远还能下一注。期货不是：账户每天被结算一次，保证金不够会被追保，追不上会被强平。

公式假设你输到只剩一块钱也还在牌桌上。真实的规则是，你输到还剩三成的时候，别人就替你把牌收了。

回撤那一篇第三节说过同一件事的另一半：深回撤最先拿走的不是你的钱，是你继续持有的资格。

③ 凯利假设一次只有一注，你手上有好几笔。

同时开着的仓位，如果彼此相关，它们在风险上就是同一笔。讲仓位那一篇实测过：黑色系四份合约加起来只相当于 1.36 个独立赌注。

把单笔的 f 原样套到五个品种上，你实际押的远不止 5f。 多笔同时持仓下该怎么分配，是另一个题目，等讲风险平价那一篇再写。

④ 那两个输入还会随时间变。

胜率和盈亏比不是常数。品种的波动会变、你的方法会磨损、主力换月的接缝还会往你的历史记录里掺假动作。

你用过去四十笔估出来的那个数，描述的是过去四十笔。凯利要的是下一笔。

⚠️ 还有一条不算难度、但会改答案：成本。手续费和滑点直接从每笔的期望里扣，扣完之后 f* 会明显往下走；本篇模拟里成本只扣了一个很轻的量，所以报出来的"下重了的人"占比，是偏保守的。

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六、凯利公式不回答什么

① 它不告诉你有没有优势。

这是最要紧的一条。公式接收 p 和 b，不审查它们。你给它一串纯运气的成绩，它会一本正经地算出一个百分数。

想知道自己那点成绩里有多少是运气，去看幸存者偏差那一篇——四十笔上分不开，这一篇只是把那句话的后果算了一遍。

② 它不告诉你多少笔才够。

上一篇说了四十笔不够、八十笔还是不够。这一篇能补的只有一条：在 20 到 120 笔这个区间里，加笔数改善的是离散度，不是可用性。 真正回答"多少够"要靠稳健性检验和蒙特卡洛，那是量化栏目的题目。

③ 它不管你同时开着几笔。

第五节③ 已经说了。要处理这件事，先看有效独立品种数，别拿单笔的 f 去乘品种数。

④ 它不保证你能按那个价格出来。

f 到手数的换算，除数是你的止损幅度。而止损那一篇第五节讲过：你的止损价是你算的，你的成交是别人给的。跳空一次，那个除数当场作废。

⑤ 它尤其不告诉你该做哪个品种、哪个方向。

这一篇从头到尾没有出现任何一个品种的方向、点位或建议，以后也不会有。

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七、一张可以贴在显示器边上的表

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三条能直接用的结论

① 先分清你缺的是哪一样。

凯利解的是"有了优势，该押多重"。如果你还不确定自己有没有优势，这个公式一分钱风险都挡不住——它不是用来找优势的，它是用来分配优势的。

② 把算出来的那个数，读成"这一笔我允许账户少多少"，然后除以止损幅度。

这一步做完，多数人会发现自己算出来的数大得离谱。那不是你算错了，那是这个公式在正常工作。

③ 估不准的时候，用一个不需要估的数。

模拟里那条"固定 1% 风险"的路，拿到了上帝视角一半的增长、不到三成的回撤，而且不需要你先知道自己的胜率是多少。

半凯利不是保守版的凯利。它是把"我可能估错了"这件事也算进去之后的凯利。

而这句话还有一个更朴素的版本：如果你根本不知道自己的胜率，那么"该押多少"这个问题的正确答案，本来就不该由一个需要胜率才能算的公式来回答。

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下一篇预告

下一篇写做市商——盘口里那个一直在挂双边价的人。上期所的做市商管理办法刚修订过，正好借这个由头，把讲套利者那一篇里"市场里的角色"这条线往下接一个。

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